12. Stan nieciągły w wszechświecie ciągłości stanów

Tekst ten napisałem 22.06.2015 roku. Jest swego rodzaju ciągłą niezgodą na ciągłość stanów kwantowych.

Dziwne, że stany stacjonarne atomów w mechanice kwantowej (MK) opisane są ciągłymi funkcjami gęstości elektronowej. Ten stan ciągłości uważam za coś na kształt "przepychania" arystotelizmu do MK. funkcje falowe dają wprawdzie poprawny opis, ale każda najmarniejsza rozpycha się po całym wszechświecie. Straszne marnotrawstwo przestrzeni! Dlatego stany kwantowe powinny być… skwantowane i zlokalizowane choć rozmyte. Jak to zrobić. Należy potraktować funkcję gęstości, jako idealizację stanu rzeczywistego. Idealizacja polega na tym, że bierzemy całą przestrzeń oraz każdy czas do opisu stanu stacjonarnego. Gdyby dało się wybrać tylko pewne punkty w pewnym zakresie czasu, to wówczas odtworzenie takiej funkcji wymagałoby skolekcjonowania wszystkich takich punktów i w czasie i w przestrzeni. Bez całkowania taka czynność jest praktycznie niewykonalna.

Jest jeszcze jedna poważna przeszkoda, bo nie wiadomo, jakie powinno być kryterium wyboru takich punktów. W latach 40 XX w. Metropolis i wsp. zaproponowali takie kryterium. Chodziło o metodę błądzenia przypadkowego do obliczeń energii układów kwantowych z zastosowaniem tzw. energii lokalnej. Problem polegał na tym, że funkcja falowa była nadal podstawą rozważań oraz znajdowała się tam sztucznie narzucona metoda wyboru kolejnego punktu ścieżki błądzenia. Tej niedogodności pozbawione są szeregi chaotyczne typu x_n+1= f(x_n). Wybieramy tylko punkt startowy i śledzimy ewolucję punktów. W wypadku przestrzeni 3D dla układów sferycznie symetrycznych zmienna x odpowiada promieniowi wodzącemu, a kąty może generować generator pseudolosowy. Jakie funkcje chaotyczne trzeba by wziąć. W wypadku  pracy na funkcjach własnych wszystko jedno. Wtedy w każdym punkcie przestrzeni energia elektronu jest jednakowa, zatem nawet nie trzeba liczyć średniej.

Problem wyboru postaci szeregu chaotycznego nabiera istotnego znaczenia w wypadku, gdy mamy do czynienia z funkcjami próbnymi, które nie są funkcjami własnymi hamiltonianu. Wtedy zbiór punktów powinien odtwarzać przybliżoną gęstość elektronową badanego układu. Taki szereg nie powinien mieć ściśle określonej wartości maksymalnej, a jego dystrybucja powinna odpowiadać postacią radialnej gęstości elektronowej.

Z drugiej strony szereg chaotyczny generuje punkt za punktem. Oznacza to, że elektron nie jest obecny wszędzie z jakimś prawdopodobieństwem, ale obecny jest w jednym punkcie przestrzeni w jednym punkcie czasu. Stan stacjonarny składałby się z sumowania właściwości takich punktów. Co ciekawsze, stan stacjonarny byłby sekwencyjnym procesem pojawiania się takich punktów. Taka hipoteza stawia natychmiast pytania, czym jest częstotliwość pojawiania się takich punktów, i czy jest to częstotliwość stała, czy też zmienna w czasie. Na to nie ma jeszcze odpowiedzi. Ważne, że hipoteza taka potwierdza brak toru bo nie ma żadnej ścieżki pomiędzy kolejnymi generowanymi punktami.

Ciekawe implikacje wywołuje symulacja chaotyczna dla dwóch atomów wodoru. Dwa szeregi chaotyczne, mogą startować z różnych punktów przestrzeni dla zadanej odległości protonów. W b. dużej odległości mamy dwa oddzielne atomy wodoru a oddziaływanie elektronów następuje wyłącznie poprzez efekty kulombowskiego przyciągania i odpychania elektronów i protonów. Dzieje się tak dlatego, że funkcja chaotyczna ma ograniczony zasięg i nie występują tu punkty dalsze niż kilka promieni Bohra. Przy zbliżaniu jąder następuje oddziaływanie bliskie elektronów, które może zakończyć się katastrofą, gdy szeregi wygenerują jednakowe współrzędne. W takim wypadku, konieczna jest korekta położenia elektronów, czyli oddalenie ich na pewna odległość. Ta korekta może odpowiadać korelacji oddziaływania elektronów. Jaka to jest odległość i w którym kierunku należy odsunąć elektrony musi być przedmiotem analizy. W każdym razie skorygowane położenie jest punktem startowym do kolejnej iteracji.

Drugim efektem jest wymiana. Można sobie wyobrazić, że elektron 1 przyporządkujemy jądru 2 i odwrotnie. Wówczas zmieniamy punkty początkowe do kolejnych iteracji. Powstaje pytanie, co ile iteracji należy dokonać takiej zamiany. W ten sposób rozumiem problem korelacji ruchu i wymiany elektronów.  

Obliczenie globalnych parametrów polega na uśrednieniu pewnej liczby wystąpień elektronów. Być może rzędu tysięcy lub milionów. To należy sprawdzić.

            Jakie funkcje chaotyczne mogą być przydatne do takich symulacji. Wydaje się, że tylko trzy. Pierwsza to chaotyczny (w sensie dodatniej wartości wykładnika Lapunowa) kwadrat funkcji logarytmicznej oraz moduł funkcji logarytmicznej (nawet lepiej nadaje się niż kwadrat), a druga to chaotyczny tangens. Logarytm odtwarza...

Dodatek 2019. W tym miejscu urwały się moje dawne rozważania - jak sygnał trąbki z Wieży Mariackiej. Dziś wiem, że tego typu szeregi mają pewną wadę - nie są skalowalne, to znaczy, że działają tylko przy określonym doborze wymiarów. Chyba jest lepszy sposób na to podejście, tym sposobem są gry w chaos, które nazywam χ-grami lub zgodnie z propozycją prof. AD - GC (grami w chaos).