Chaotycznie o atomach

 

Poza interpretacje

Do napisania tego tekstu zachęciła mnie nadzieja, że rok 2021 będzie lepszy niż poprzedni. Dokładniej był to wpis w blogu Adama Adamczyka pt.: „Polscy uczeni wobec zagadnienia interpretacji mechaniki kwantowej [suplement – uzasadnienia]” (https://www.kwantowo.pl/2020/12/16/jak-mechanike-kwantowa-interpretuja-polscy-fizycy-suplement/). Pierwotnie odłożyłem lekturę tego wpisu (i wcześniejszego poświęconego interpretacjom mechaniki kwantowej) – na „poświętach”. Raczej nie spodziewałem się tu jakichś nowości. Oczekiwałem tego, co zwykle; wyważonych opinii uczonych, jednak podobnych do wielu, wielu innych, z którym zetknąłem się wcześniej. Dodatkowo, byłem kilka miesięcy po wymianie korespondencji z autorem książki pt. „Czy Bóg gra w kości”, Ianem Stewartem (I. Stewart, „Czy bóg gra w kości. Nowa matematyka chaosu”, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1996). Pytałem Autora o postęp we włączaniu teorii chaosu do aparatu matematycznego MK w ciągu ostatnich trzydziestu lat. Błyskawicznie otrzymałem rękopis dwóch rozdziałów nowego wydania tej książki i ogólną odpowiedź, która sprowadzała się do stwierdzenia, że zasadniczo takiego postępu brak.

Z takim dość miałkim nastawieniem przystąpiłem do lektury w/w wpisu. Wszystko było jak zwykle aż do opinii prof. Marka Czachora z Wydziału Fizyki Technicznej i Matematyki Politechniki Gdańskiej. Stanowisko prof. Czachora było inne, odmienne. Przykuło moją uwagę. Niespodziewanie ten krótki tekst dawał nadzieję na postęp, na jakiś wyłom… Nie tyle w interpretacjach, ile w znalezieniu maszynerii matematycznej innej niż dotychczas, a stosowanej do opisu zjawisk mikroświata. Gdyby autor tej opinii miał rację choćby częściowo. Gdyby nierówności Bella dało się wyłączyć z MK, chociaż lokalnie, to byłoby już coś. To byłaby właśnie nadzieja.

Pochwała, zniechęcenie i nadzieja

Co jest obecnie beznadziejne? Funkcja falowa! Z tym, że dla mnie, jako chemika, ważniejsze raczej są funkcje gęstości elektronowej, bo to one określają świat atomów i cząsteczek chemicznych – świat chemii. Będę jednak odnosić się do funkcji falowej – tak jest wygodniej. Zajmuje mnie ten matematyczny twór chyba od zawsze. Między innymi, dlatego że do ścisłego opisu właściwości najprostszego atomu, jakim jest atom wodoru, używa się funkcji falowej zajmującej całą przestrzeń fizyczną, od zera, w którym umieszcza się proton, do nieskończoności. W tej olbrzymiej przestrzeni hasa sobie elektron a funkcja falowa go obłaskawia. Z drugiej strony, aby jakoś ogarnąć obraz atomu trzeba zaniedbać niemal całą tę przestrzeń i zostawić ”angstremoskopijny” kawałek, w którym mieści się – powiedzmy 95% – gęstości elektronowej. Tak jest z wszystkimi atomami i ich zbiorami tworzącymi cząsteczki chemiczne. Powiedziałbym, że jest to rozumienie części przez zaniedbanie całości (prawie). Z obliczeniami właściwości atomów jest inaczej. Nie można zaniedbać żadnego punktu przestrzeni, w tym krańców Wszechświata i obszarów poza nim. Dodatkowo funkcja falowa wprowadza nielokalność. Elektron jest wszędzie, choć prawdopodobieństwo jego znalezienia tu i tam może być bardzo różne. Jak to pogodzić? Jak pogodzić nielokalność z atomami, które są jakoś tam zlokalizowane, trzymają się razem (pomijam tu skale, w których dominuje grawitacja). Kolejny pomysł, który opiera się na funkcjach falowych nie przynosi nadziei na postęp. Owszem, coś się tam dołoży na dwunastym miejscu po przecinku. Ale tylko tyle, bo zostało w tej dziedzinie powiedziane niemal wszystko. Najpotężniejsze narzędzie poznania mikroświata jest obecnie najpotężniejszym hamulcem lepszego zrozumienia tego świata. Czy da się „wyskoczyć” poza funkcję falową? Nie sądzę, bo obejmuje ona cały wszechświat, bo dodanie wymiarów, niewiele daje, bo maszyneria matematyczna z nią związana jest tak potężna, że klękajcie narody. A gdyby tak całkowicie porzucić tę ideę?! Po prostu założyć, że nie można dokonać istotnego postępu ubijając ciągle funkcję falową w maszynerii związanej z nią matematyki.  Może czas zejść z ramion gigantów i pogrzebać w ziemi wokół ich stóp? To jest niebezpieczne zadanie, bo coś z góry może spaść, można zostać zadeptanym przez przypadek… Z drugiej strony takie ryzyko pozwoli na poszukiwanie czegoś w trawie. Może borówek, może jagód i grzybów. W takim wypadku horyzonty mocno się zawężają, ale możemy zobaczyć więcej szczegółów, skwantować to, co dotychczas było ciągłe. Może lokalność nie jest tak bezpłodna, jak się wydaje, może trzeba się jej przyjrzeć z innej, niż dotychczas strony.

W tym miejscu pojawia się opinia prof. Czachora a z nią nadzieja, że być może MK jest lokalna gdzieniegdzie, na przykład w obszarach tak małych, jak atomy. Gdyby dopuścić taką myśl, to dałoby się chyba włączyć jakieś struktury chaotyczne do opisu tych atomów. Niektóre procedury chaosu deterministycznego posiadają cechy, które mogłyby być przydatne do tworzenia modeli atomów. Jedną z nich jest właśnie lokalność. Chaos „dzieje się” w pobliżu początku układu współrzędnych. To pobliże obejmuje obszar ułamków, kilku, kilkudziesięciu jednostek odłożonych na osiach np. kartezjańskiego układu współrzędnych. Dalej chaos „ustaje” – pojawia się sympatyczna matematyczna pustka. Chaos może wytwarzać trajektorie lub dyskretne zbiory punktów, które układają się w przedziwne i bywa, że piękne konfiguracje. Dlaczego jedna z nich nie miałyby się ułożyć w zbiór odpowiadający gęstości elektronowej w jakimś atomie, choćby to miała być tylko gęstość elektronowa stanu podstawowego atomu wodoru… Tę opowieść można ciągnąć dalej, ale mnie bardziej odpowiada świat obliczeń niż dowodów formalnych. Dlatego pokażę pokrótce niektóre moje boje z chaosem i atomem wodoru.

Chaos w funkcjach gęstości elektronowych

Wziąłem pod lupę funkcję gęstości elektronowej  stanu podstawowego (1s) atomu wodoru. Zastosowałem sposób postepowania analogiczny do badania chaosu w równaniu logistycznym. Umieściłem  w procedurze rekurencyjnej. Zmienną była wartość promienia wodzącego elektronu.Obliczyłem wartość klasycznego wykładnika Lapunowa. Jego wartość jest ujemna. Nic z tego. Nie ma tu chaosu. Szereg jest zbieżny do pewnego punktu niezależnie od punktu startowego. Pojawia się atraktor, co potwierdza wartość wykładnika Lapunowa. Obraz atomu wodoru, jaki wyłania się z takiego podejścia, nie jest specjalnie ciekawy, ale trzeba go opisać.

Ponieważ zmienną niezależną w  jest promień wodzący, to wartość liczbowa atraktora odpowiada długości tego promienia. Z kolei, ponieważ stan 1s jest kulistosymetryczny i promień nie jest związany funkcyjnie z kątami sferycznego układu współrzędnych, to promień jest taki sam dla wszystkich kątów. Oznacza to tyle, że podejście rekurencyjne tworzy atom wodoru w postaci sfery, której długość promienia ma wartość liczbową atraktora. Niestety wartość ta nawet w przybliżeniu nie odpowiada wartości promienia pierwszej orbity Bohra. Podobna sytuacja występuje również dla stanu 2s, choć różni się szczegółami. Porażka i to podwójna. Podwójna, bo po pierwsze, model wyszedł nieciekawy, a po drugie, bo badanie chaosu w taki sposób wymaga sprawdzenia każdej funkcji gęstości z osobna. Zdaje się, że nie można przewidzieć pojawienia się chaosu z jakichś wzorów ogólnych dla gęstości elektronowych stanów atomu wodoru.  Porzuciłem myśl, że funkcje  nadają się do opracowania chaotycznego modelu atomu.

Chaos w szeregach logarytmicznych

Moim prywatnym (i znacznie wcześniejszym) osiągnięciem było wykazanie, że chaos występuje w szeregu zbudowanym z modułu lub kwadratu funkcji logarytmicznej (logarytm naturalny). Wykładniki Lapunowa mają wartości dodatnie w dość szerokim zakresie współczynnika liczbowego, przez który mnoży się zmienną niezależną. W odróżnieniu od szeregu logistycznego, dla szeregu logarytmicznego nie ma w tym zakresie miejsc, w których wykładniki gwałtownie stają się ujemne. Mapy powrotne tych szeregów odtwarzają przebieg modułu, albo kwadratu funkcji logarytmicznej w pobliżu początku układu współrzędnych. Punkty na wykresie obliczane podczas procedury rekurencyjnej skupiają się w bardziej okolicach jedynki na osi odciętych niż na jej krańcach, to znaczy w pobliżu zera i bądź kilku jednostek dla modułu i kilkuset dla kwadratu. Ale jak się skupiają? Pomocą okazały się wykresy dystrybucji (histogramy np. https://www.researchgate.net/publication/322095744_Determination_of_invariant_measures_An_approach_based_on_homotopy_perturbations/figures?lo=1, fig. 3a), które pokazują, ile razy pojawiła się wartość odciętej w przedziale  podczas rozbudowy rekurencyjnej szeregu.

Moje serce mocniej zabiło, gdy dla pewnej wartości współczynnika liczbowego, który wchodził jeszcze w zakres chaotycznego zachowania się funkcji, pojawił się pik na wykresie histogramu. Link do bardziej szczegółowego opisu tego zagadnienia: https://drive.google.com/file/d/1pKjgUf84RWgIO7G6HH3AyjtBFaHGyVtH/view

Algorytm (VBA for Excel), który realizuje te wykresy, może się zacinać (dla zwiększających się wartości c należy zwiększyć wartość stałej vec, aby wskaźnik yd „nie wyskoczył” poza zakres.

'Dystrybucja radialna x dla modułu f. logarytmicznej

Sub chaos_log()

Const vec As Integer = 1200 'dobrane do wartości c

Dim d(1 To vec) As Double   'zbiera liczbę wystąpień

x = 0.69

llos = 200000    'liczba iteracji

c = 0.3681       'xmin=4E-6 xmax=11.9

For i = 1 To llos

  x = Abs(Log(c * x))      'moduł funkcji logarytmicznej

  yd = Int(100 * x) + 1    'wskaźnik komórki w wektorze

  Cells(4, 4) = yd

  d(yd) = d(yd) + 1        'sumowanie liczby wystąpień w komórce yd

Next i

 For i = 1 To vec

   Cells(i, 1) = i: Cells(i, 2) = d(i)

 Next i

End Sub

Zastosowanie szeregu logarytmicznego pozwala zwizualizować model gęstościowy, który przypomina gęstościowy model stanu podstawowego atomu wodoru (przy założeniu, że kąty są przypadkowe). Podobny do tych, które wizualizuje się za pomocą utożsamienia Borna:

Algorytm, który wygenerował powyższy rysunek napisałem w Small Basicu:

Przedstawiony wyżej obrazek przypomina podręcznikowe wyobrażenia atomu wodoru. Jednakże obraz ten oprócz „ładności” ma sporo poważnych wad i dwie intrygujące cechy. Dystrybucja opisana w linku posiada pik z maksimum przy wartości promienia równej jedności. Taki wynik można z grubsza porównać do funkcji radialnej gęstości elektronowej stanu podstawowego atomu wodoru wziętej w jednostkach atomowych… ale w innych nie. Niestety to porównanie jest bardzo naciągane, gdyż przeliczenie dystrybucji na funkcję gęstości powoduje ogromny wzrost jej wartości w pobliżu zera. Tak się nie zachowuje funkcja gęstości obliczona z równania Schrödingera. Z drugiej strony wyniki rekurencji nie dają promienia o długości zerowej. Nasuwa się spostrzeżenie, że gdyby taki szereg miał coś wspólnego z gęstością elektronową, to owa gęstość pozostawiałaby wolny obszar dla jądra atomowego – to pierwsza intrygująca cecha. To samo się dzieje dla wartości dużych długości promienia. Rekurencja daje wartości skupione wokół początku układu współrzędnych. Gdyby ten efekt przełożyć na obraz gęstości elektronowej, to taki chaotyczny atom ma wprawdzie rozmyte brzegi, ale od pewnej wartości maksymalnej gęstość elektronowa jest permanentnie zerowa. Atom ma kończone rozmiary bez konieczności zaniedbania gęstości elektronowej na brzegach jak w wypadku funkcji falowej.

Model ten wymaga stosowania pojedynczej zmiennej podlegającej rekurencji, gdyż szereg generuje w każdym cyklu iteracyjnym tylko jedną wartość. Tą zmienną jest promień wodzący elektronu. Niestety nie da się tego przenieść na generowanie współrzędnych x,y,z w układzie kartezjańskim. To jest poważna wada. Potrzebny by był system chaotyczny, który generuje wszystkie trzy współrzędne. Póki co, stwierdzę dość tajemniczo, że są takie systemy…

Co dalej?

Teoria chaosu daje nadzieję na włączenie jej do mechaniki kwantowej atomów. Przyczynek już jest. Pokazałem go powyżej. Do niego można dołączyć pewne wyobrażenia o możliwych kierunkach poszukiwań. Przykładowo, być może istnieją wielowymiarowe chaotyczne trajektorie ortogonalne (lub prawie ortogonalne) do przestrzeni fizycznej 3D. Być może takie trajektorie przecinają punktowo przestrzeń fizyczną (przekrój Pioncaré), a wynikiem tego przecięcia jest zbiór punktów, który symuluje rozkład gęstości elektronowej wokół atomu? Zdaję sobie sprawę, że włączenie wyższych wymiarów do równania Schrödingera „psuje” wyniki obliczeń energii stanów nawet dla atomu wodoru. Tym niemniej należałoby poszukać takich rozwiązań dla samej przyjemności.

Myślę, że jest pewna droga do rozwiązania tego problemu. Wiedzie ona jednak przez zupełnie inne dziedziny teorii chaosu.