Poza marzenia

 Esej o grach

Wojciech Szczepankiewicz 1-29.03.2021

Jestem w tej grupie osób, które od dawna zadaje sobie pytanie, dlaczego mechanika kwantowa jest tak trudna. Nie chodzi tu o trudności rachunkowe ani o zaawansowaną matematykę w formalnej warstwie tej teorii. Niewątpliwie te zagadnienia nie są łatwe, ale chodzi o co innego. Chodzi o tę całą otoczkę dyskusyjną nad interpretacjami znaczenia matematycznego mechanizmu MK w świecie fizycznym. Widzę w tych dyskusjach nie tyle oznaki rozwoju teorii MK, ale przeciwnie, raczej stagnację. Sądzę, że wynika ona z tego, że stojąc na ramionach olbrzymów wielcy sięgnęli wzrokiem nieskończoności. Nie da się dalej sięgnąć. To chyba rodzi jakiś rodzaj zniecierpliwienia, że te dyskusje nie wnoszą niczego nowego do nauki, choć mogą być inteligentną zabawą z wyobraźnią naukową. W tym świecie porusza się moja osoba. Przyglądam się z zainteresowaniem tym stanom i frustracjom i zastanawiam się, co ja, jako chemik mogę dołożyć istotnego do postępu teorii MK… i czy w ogóle. Chciałbym się w swoich rozważaniach odnieść tylko do mechaniki atomów i cząsteczek chemicznych, dlatego że jestem chemikiem i to jest mi najbliższe. Rozważania o cząstkach swobodnych, modnym ostatnio splątaniu kwantowym pozostają poza strefą moich zainteresowań.

Co nowego można zrobić w atomach i cząsteczkach chemicznych? Głównie można zamknąć się i liczyć. Tak powinienem postępować, gdyż jestem klientem twórców oprogramowania do tego typu obliczeń. Jednakże takie nastawienie tępi brzytwę Ockhama i utrudnia rozwój. W swojej pracy naukowej (i z czystej ciekawości) naliczyłem się sporo. Opanowałem kilka metod określania elektronowych właściwości cząsteczek chemicznych. Coś opublikowałem z dziedziny obliczeń jako uzupełnienie rozważań mechanizmów reakcji organicznych. Ważne jest jednak to, że takie obliczenia się wreszcie muszą się znudzić. Bo ileż można policzyć układów atomowych, oddziaływań cząsteczek albo przebiegu prostych reakcji chemicznych? Nieskończoną ilość! Nie jest jednak pociągające pchanie się w nieskończoność. Nie pomaga nawet to, że programy komputerowe stają się coraz bardziej zaawansowane a grafika molekularna pozwala na zwizualizowanie układów chemicznych i wytworzenie ich obrazów o charakterze niemal dzieł artystycznych. Bywa, że te obliczenia trwają bardzo długo i wtedy mam czas, aby zadać sobie pytanie o główne filary, które powodują, że MK jest tak sprawnym i precyzyjnym narzędziem obliczeniowym dla układów mikroświata.

Widzę tu dwie rzeczy. Z jednej strony jest to, co „wchodzi” do procedur obliczeniowych. Mam tu na myśli funkcję falową oraz funkcje gęstości elektronowych. Z drugiej strony, to zaawansowana maszyneria matematyczna związana z „obsługą” tych funkcji i uzyskaniem pożądanych wyników. Tą maszynerią jest niewątpliwie równanie Schrödingera, teoria funkcjonałów gęstości oraz kilka innych metod i teorii, które nie mają tak szerokiego zastosowania w praktyce obliczeniowej.

Chciałbym powiedzieć kilka słów o własnościach funkcji falowej, ale tylko takiej, która posiada wartości rzeczywiste. Pojawia się tu pewna sytuacja, która mnie niepokoi. Aby skupić się na jednym zagadnieniu, weźmy atom wodoru w jego stanie podstawowym. Do ścisłego opisu tego stanu potrzeba funkcji, która obejmuje swą dziedziną całą przestrzeń trójwymiarową. Od minus do plus nieskończoności, albo we współrzędnych sferycznych wszystkie wartości kątów i promień wodzący od sera do nieskończoności. Więc opis pojedynczego atomu wodoru wymaga całej przestrzeni. Jest to - parafrazując – ogromne jej marnotrawstwo. Można jednak zadać pytanie, w jakiej odległości od jądra zatrzymać, aby uznać opis za ścisły? Przecież ona w każdej dowolnie wybranej odległości ma wartość różną od zera. Nawet, jeśli w wypadku innych stanów niż podstawowy znajdą się obszary, w których przyjmuje wartości zerowe, to nie mają one znaczenia dla nieskończonego zasięgu tej funkcji. Nie ma powodu, żeby zatrzymać się w jakiejś wybranej odległości od jądra atomu i powiedzieć – tu się kończy atom. On się nigdzie nie kończy. Widzę tu pewien problem. Podobnie funkcja ta posiada niezerową wartość w środku jądra atomowego. Istnieje więc niezerowe prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w jądrze. Widzę tu również niejaką trudność.  

W tym kontekście chciałbym się odnieść do badań eksperymentalnych gęstości elektronowej w atomach. Wydaje się, że metody eksperymentalne badania gęstości elektronowej nie potrafią niczego wykryć elektronów w pewnej odległości od jądra atomowego. Mówi się, że gęstość jest zbyt mała, a przyrządy są za mało czułe, czy rentgenografia, czy metody sił atomowych – metody mikroskopowe, aby wykryć elektrony. Tłumaczenie to wydaje się rozsądne. Mam tu jednak wątpliwość, gdyż przypomina mi się powiedzenie przypisywane Archimedesowi: Dajcie mi punkt podparcia a poruszę Ziemię. Teoretycznie jest to możliwe. Wystarczy mieć dostatecznie długą i wytrzymałą żerdź i nieco siły. Tyle że praktycznie taki manewr jest niewykonalny. Takiego eksperymentu nie można przeprowadzić. Mamy tu więc pewien rodzaj konfliktu pomiędzy teorią a eksperymentem. Tak właśnie postrzegam sprzeczność między opisem gęstości elektronowej przez funkcję falową a możliwościami eksperymentalnego oznaczenia tej gęstości. Innymi słowy, teoretycznie jest możliwe wykrycie gęstości elektronowej w każdej odległości od jądra atomu, ale praktycznie jest niewykonalne. Nawet, jeśli coś się wykryje, to nie ma praktycznej pewności, że wykrywa się elektrony atomu, który się bada.

Ciekawe jest to, że obraz atomu, który można wygenerować na podstawie teorii, musi zaniedbać pewną część gęstości elektronowej. Zwykle ujmuje się na obrazie około 95% gęstości elektronowej. Możliwe się staje wtedy zobrazowanie atomu, jako skupionego, najczęściej kulistego tworu. Pomija się w sumie niewiele, około 5%. Tego typu zaniedbanie przyjmowane jest, jako naturalna konsekwencja bardzo niskiej gęstości elektronowej w większych odległościach od jądra atomowego. Jednakże, co jest bardzo ciekawe, pomijamy prawie, że całą przestrzeń. Z punktu widzenia funkcji falowej 95% gęstości elektronowej skupione jest w tak małej objętości, że niemal cała przestrzeń jest zaniedbana. Te zaniedbania, to znaczy, niemal całą przestrzeń oraz zaniedbanie niewielkiej ilość gęstości elektronowej od strony jądra atomowego i w dalszych odległościach od niego, mają znaczenie. Atomy stają się jakoś zrozumiałe.

Nie wolno jednak nie doceniać potęgi funkcji falowej, czy też funkcji gęstości elektronowych. Wolno z nich konstruować dowolny układ np. w postaci kombinacji liniowych do opisu jakiegoś stanu elektronowego. Ten zabieg pozwala na modelowanie sporych rozmiarów układów atomów – cząsteczek chemicznych i ich oddziaływań. Oczywiście mówię tu o bazie funkcyjnej. Staje się możliwe dodawanie nowych funkcji albo ich modyfikowanie według potrzeb. Robi się to po to, żeby odtworzyć jak najlepiej gęstość elektronową i energię jakiegoś stanu w atomie lub układzie atomów. Jest to niewątpliwa zaleta funkcji falowej. Jednakże kojarzą mi się tu pewne uwagi. Pierwsza ma naturę historyczną. Dawnymi czasy do uzyskania względnie poprawnego opisu orbit planetarnych w systemie geocentrycznym, ptolemeuszowskim modyfikowano idealne orbity kołowe.  Dokładano deferense i epicykle na kilku poziomach. Dostatecznie duża liczba takich elementów, czyli zwiększyć, stosując konwencję MK, bazę obliczeniową, to zasadniczo można odtworzyć ruch planet wokół Słońca bez konieczności wprowadzenia systemu heliocentrycznego i keplerowskich orbit eliptycznych. Widzę tu zbieżność z metodologią powiększania bazy funkcyjnej w MK. Dodanie do bazy funkcyjnej kolejnych funkcji pozwala lepiej odtworzyć gęstość elektronową i poziomy energetyczne. Odbywa się to jednak kosztem komplikacji systemu.

Druga uwaga dotyczy sposobu patrzenia chemika na metodologię dodawania kolejnych funkcji do pewnego podstawowego ich zbioru. Idzie tu o porównanie z eksperymentalnym badaniem przebiegu reakcji chemicznej. Mam na myśli określanie jej szybkości w celu zrozumienia jej mechanizmu. Praktycznie wykonuje się to przez przez pomiar zmian stężeń reagentów lub produktów w czasie przebiegu reakcji. Otrzymuje się pewne krzywe zmian stężeń w funkcji czasu. Takie krzywe pozwalają, w wyniku dość prostych zabiegów matematycznych, na wnioskowanie o mechanizmie reakcji. Problem powstaje, gdy te zabiegi nie dają pożądanego rezultatu. Owszem taki rezultat daje się uzyskać przez dodawanie kolejnych zabiegów matematycznych, które dadzą bardzo dokładny opis matematyczny krzywej, oddalają jednak od rozumienia mechanizmu procesów, które zachodzą podczas reakcji. Innymi słowy, nie o to chodzi, aby zastosować duży zbiór funkcji opisujących coraz dokładniej przebieg czasowy zmian stężeń. Chodzi o to, żeby znaleźć najprostszy układ opisujący obserwowaną zależność. Dopiero wtedy pojawia się możliwość przypisania mechanizmu do reakcji, czyli sposób, w jaki te atomy się łączą lub rozdzielają.  Jak to zrobić. Ci, którzy znają się na kinetyce reakcji chemicznych wiedzą, że to dokładanie do bazy kolejnych funkcji, pomaga dokładnie odtworzyć w wypadku jakichś skomplikowanych procesów przebieg czasowy tej reakcji, ale to skutkuje kompletnym zamazaniem jej mechanizmu. Tak właśnie widzę analogię z bazami funkcyjnymi w MK. Powiększenie bazy polepsza odtwarzanie energii i rozkład gęstości elektronowej, ale chyba traci się istotę procesów, które tam zachodzą. Istotę procesów elektronowych.

Potęga MK może kogoś wepchnąć w pychę. Nawet nie dziwię się zbytnio. Przecież odkrycie niemal sto lat temu tych rzeczy, tak potężnego mechanizmu, tak pięknie umieszczonego w rozmaitych schematach matematycznych, w szerszych teoriach matematycznych, przestrzeniach Hilberta, rachunku operatorowym, zagadnieniu własnym, czy w układach macierzowych, otworzyło możliwości obliczeniowe, które są eksplorowane z zapałem aż do dziś. Można jednak znowu zadać sobie pytanie, jaka jest różnica pomiędzy nami współcześnie a tymi gigantami myśli z pierwszego trzydziestolecia XX wieku? Nie chodzi mi tu o sprawy personalne czy mentalne, ale różnicę techniczną. Ona jest taka, że Oni mieli za sobą potężną matematykę i niewielkie zdolności jej praktycznego wykorzystania. A co mamy dzisiaj? Przecież też mamy potężną matematykę - jeszcze nawet potężniejszą. Mamy jeszcze coś. Chodzi o komputerowe technologie obliczeniowe. Tego nie mieli - nawet w przybliżeniu nie mieli tej mocy obliczeniowej, co my dzisiaj. Oczywiście istniały zespoły rachmistrzów, ale one były w stanie wykonać jedynie niewielki ułamek tego, co możemy dziś. Czyli cała potęga matematyki minus nasze komputery. Mimo wszystko, to jest kolosalna różnica.

Jeszcze jest jedna różnica, o naturze bardziej matematycznej, która może mieć znaczenie. Mianowicie oni nie mieli wiedzy o teorii chaosu. Oczywiście z wyjątkiem Ponicarégo, ale jego prace nie dawały się wówczas połączyć z MK, również ze względu na ówczesny brak możliwości obliczeniowych. Współcześnie jesteśmy bogatsi, również dzięki komputerom, o teorię chaosu. Sądzę, że ta teoria może w sobie zawierać elementy, które mogą pchnąć, jak sądzę, mechanikę kwantową na nowe tory.

Przechodząc do tych elementów zacznę jednak od fundamentalnej różnicy między MK a teorią chaosu. Różnica jest prosta ale dramatyczna. Przyjmuje się, że MK jest nielokalna. Nie można tego powiedzieć o procedurach teorii chaosu. Uzyskiwane tu rozwiązania, struktury i zbiory punktów mają charakter jak najbardziej lokalny. Tak przynajmniej ja to rozumiem. I to jest podstawowa różnica. Myślę, że ta własność teorii chaosu raczej zniechęca do stosowania jej w obszarze mikroświata tak dobrze opisywanego przez MK. Tak też sądziłem do czasu pojawienia się pracy prof. Czachora. Wykazuje on, że nierówności Bella będące fundamentem nielokalności MK, są matematyczną tautologią. Jeśli dowód matematyczny prof. Czachora jest poprawny, to może nierówności Bella nie są oczywistością nakazującą stosowanie nielokalności w każdym zakątku MK. Możliwe, że mikroświat gdzieniegdzie jest lokalny, ale tego MK nie zauważa, bo brak w jej aparacie matematycznym odpowiednich narzędzi. Tak może być przykładowo w mechanice atomów.

                Mnie się niezbyt podoba jeszcze jedna rzecz, mianowicie, że MK, mówi się o porcjach, o kwantach, o porcjach energii. Ale to jest tylko tak, że MK „porcjuje” przejścia pomiędzy stanami energetycznymi, ale jeśli zapytamy o sam stan, to okaże się, że jest on opisany ciągłymi funkcjami, Są to funkcje klasy Q. Jest to dziwna rzecz, w której pomiędzy nieciągłościami rozciągają się nieskończone obszary opisane funkcjami klasy Q (porządnymi). Wyobrażam sobie, że skwantowane zostają również stany. To znaczy, żeby daje się wyjść poza funkcje falowe do opisu stanów. Kłopot z wyjściem poza funkcję falową polega na tym, że nie da się poza nią wyjść np. w sensie geometrycznym. Powiedziałem już na początku, że np. funkcja falowa stanu podstawowego najprostszego atomu, jakim jest atom wodoru obejmuje cały wszechświat. Nie ma miejsca, gdzie dałoby się „wyskoczyć” poza funkcję falową. Nawet biorąc dodatkowe wymiary funkcja falowa też może je „zagarnąć”. Literatura podaje, że wprowadzenie takich wymiarów psuje wyniki obliczeń np. stanów energetycznych atomu wodoru. Jeśli zatem nie można wyjść poza funkcję falową, to osiągnięcie postępu wymaga lokalności, skupienia się. Sądzę, że większość ludzi pracujących dla MK uważa, że trzeba skonstruować jeszcze bardziej zaawansowany aparat matematyczny, którego MK jest tylko częścią. Bo tylko wtedy ogólniejsza teoria pozwoli pchnąć rozważania na wyższy poziom rozwojowy. Pozwalam sobie wątpić, że tędy biegnie droga rozwoju. Myślę, że ta lokalność, którą wykazuje teoria chaosu jest jakimś wyjściem poza formalizm MK. Niektórzy mówią, że widzą dalej, bo stoją na ramionach olbrzymów, ale ich problemem jest to, że żeby pozbierać grzyby w lesie muszą zejść z tych ramion. Może trzeba u stóp tych gigantów troszkę się rozejrzeć. Co prawda horyzont jest znacznie węższy i istnieje niebezpieczeństwo opadów, ale praca w lesie i grzebanie w runie leśnym może przynieść nam inny sposób spojrzenia. Innym sposobem spojrzenia jest właśnie teoria chaosu. Jakie elementy przynosi nam teoria chaosu (TC).

Widzę tu trzy podstawowe typy, które pozwoliłby pchnąć mechanikę atomów do przodu. Pierwszym z tych typów są trajektorie chaotyczne. Jako model niech posłuży dwuwymiarowe wahadło, które zachowuje się chaotycznie. Ten ruch można symulować za pomocą algorytmów komputerowych układając równania ruchu w formalizmie lagranżjanów lub hamiltonianów. Zakładam, choć nie jestem pewny, ale zakładam, że istnieje 4D trajektoria chaotyczna, która przecina się z 3D w sposób punktowy. To znaczy, że w czwartym wymiarze wykonuje jakieś esy-floresy, ale przecina naszą przestrzeń ortogonalnie, czyli u nas pozostawia punkt, a rozkład tych punktów odpowiada gęstości elektronowej stanu podstawowego atomu wodoru albo dowolnej innej gęstości elektronowej jakiegoś atomu. Tak sobie to wyobrażam. Jest to z ciągły ruch, który przecina przestrzeń 3D w postaci punktów. Być może również pozostawia ślad w postaci krótkich odcinków. Czyli przelot nie jest ortogonalny. Oczywiście byłby to trójwymiarowy przekrój Poincarégo. Wielowymiarowa trajektoria odtwarza w tym przekroju gęstość elektronową jakiegoś stanu w atomie. To jest jeden z tych typów. Czyli wielowymiarowe ciągłe trajektorie, które odtwarzają gęstości elektronowe. Mam tu na myśli taki sposób odtwarzania gęstości elektronowej, jak pokazuje się w podręcznikach. To jest zbiór kropek otaczających jądro atomowe. Jest to utożsamienie Borna, które przekształca się w obrazek składający się z kropek. Należy podkreślić, że tutaj również pojawia się problem zaniedbania. Dlatego, że zbiór takich punktów musi być ograniczony. Zaniedbuje się te 5% gęstości elektronowej, aby kropkowany rysunek atomu dało się zmieścić się na kartce podręcznika. Wielowymiarowa trajektoria niczego nie zaniedbuje, a jest 3D przekrój daje gęstość rozmytą, ale skupioną w skończonej przestrzeni. Problem w tym, że nie znam takich trajektorii.

Drugi typ to odtwarzanie gęstości elektronowych za pomocą szeregów chaotycznych. Klasyczny jest przykład szeregu logistycznego, którego własności są pokazywane na rozmaite sposoby graficzne. On nie odtwarza gęstości elektronowej, ale stosuję tu go jako model porównawczy. Stosuje się tu rekurencję, w której wartość początkowa jest przekształcana przez równanie logistyczne do nowej wartości. Ten wynik „wkłada się” ponownie do równania logistycznego, generuje kolejną wartość i rak w kółko wybraną, najczęściej dużą liczbę razy. Dzięki temu możemy w wybranej przestrzeni (tu na płaszczyźnie 2D) uzyskać rozkład punktów. Ciekawe w tym zagadnieniu jest to, że możemy badać dystrybucję punktów w wybranych obszarach przestrzeni. Innymi słowy, ile razy został wygenerowany punkt w wybranym obszarze. Np. w jakiejś odległości od początku układu współrzędnych lub w wybranym obszarze o niewielkiej powierzchni lub objętości. Powstaję wtedy histogramy. Takie robi się również dla szeregu logistycznego. 

Cechą charakterystyczną takich szeregów jest to, że generują liczbę za liczbą. To znaczy, że nie da się uzyskać wszystkich liczb (albo punktów na raz) jak to się dzieje w wypadku funkcji falowej. Tego typu procedury są sekwencyjne, co oznacza, że do rozważań musi być włączony czas. Nie da się uzyskać takiej sytuacji jak w wypadku niezależnego od czasu równania Schrödingera. Tak się nie da zrobić. W swoich peregrynacjach w obszarze szeregów chaotycznych zwróciłem uwagę na zachowanie się szeregu utworzonego z funkcji logarytmicznej. Może to być logarytm naturalny. Z tym, że taki szereg zatrzymuje się, gdy wygeneruje liczbę ujemną. Należy utworzyć szereg z modułu logarytmu albo np. z kwadratu. Okazuje się, że tak skonstruowany szereg ma właściwości chaotyczne. Ciekawe jest to, że wykładniki Lapunowa szeregu opartego na module mają wartości dodatnie w określonym przedziale współczynnika użytego do modyfikacji równania logarytmicznego. Te wartości w tym przedziale nie skaczą poniżej zera. Szereg jest znacznie bardziej chaotyczny (jeśli użyć takiego porównania) niż szereg logistyczny. Piękna właściwość. Kolejna rzecz, to taka, że manipulując tym współczynnikiem możemy modulować histogram. Dla pewnej jego wartości przypomina on w ogólności funkcję dystrybucji radialnej stanu podstawowego atomu wodoru, czyli przypomina funkcję radialnej gęstości elektronowej. Jest tu pewne zastrzeżenie. A właściwie zbiór zastrzeżeń. Po pierwsze jedna wartość generuje jedną wartość. To oznacza, że do rozważań możemy wziąć tylko promień wodzący elektronu a nie oddzielnie współrzędne x, y i z. Układ musi być kulisto-symetryczny, bo co prawda kąty mogą być dowolne i wybierane losowo, ale nie mamy żadnych funkcji modyfikujących te kąty. Jeśli zatem chaotycznie obliczamy promień a kąty generujemy randomowo, to jesteśmy w stanie odtworzyć taki rozkład punktów, który przypomina nieco rozkład gęstości elektronowej stanu podstawowego atomu wodoru. Jakie są właściwości takiego modelu. Histogram (dystrybucja) jest zbiorem punków dający obraz krzywej z maksimum w punkcie o wartości jeden. To, co do idei, przypomina przebieg funkcji gęstości radialnej stanu podstawowego atomu wodoru. Ale tylko, co do idei. 

W szczegółach już tak dobrze nie jest. Wprawdzie mamy pik tam, gdzie oczekujemy, ale to jest jednocześnie… wada. Wada polega na tym, że w takim szeregu nie można zmienić wymiaru. To znaczy, że pik jest przy wartości jeden… i koniec. Nie można uzyskać takiego rezultatu np. dla wartości wziętych z SI. Dla tych wartości szereg ma atraktor. Wynik można odnieść tylko do jednostek atomowych, ale do innych już nie. Możemy przyjąć, że ta jedynka odnosi się do promienia pierwszej orbity Bohra w jednostkach atomowych, ale to wszystko. Nie da się uzyskać chaosu w innych jednostkach. To jest poważne ograniczenie. Co jest zaletą takiego sposobu patrzenia.  Jeśli założymy, że to ma odniesienie do fizycznej rzeczywistości. To taki atom, jak widać z rysunku jest atomem o poszarpanych brzegach, czyli ma nieostre granice. Ale będzie skończony w tym sensie, że nie występuje tu nieskończoność w definiowaniu gęstości elektronowej. Jeszcze więcej. Nie da się uzyskać wartości gęstości w punkcie zero. To oznacza, że ten model pozostawia miejsce na jądro. Dodatkowo rozmiar atomu odpowiada naszym wyobrażeniom uzyskanym z pomiarów eksperymentalnych. Tego typu wynik jest bliższy odtworzeniu warunków eksperymentalnych niż obraz uzyskany z funkcji falowej. Pojawianie się punktu za punktem można te punkty zsumować i ich zbiór porównywać z funkcjami stanów stacjonarnych i narzekać, że tego typu wynik słabo odtwarza funkcje falowe. Gdybyśmy jednak odczepili się od funkcji falowych, to okazuje się, że atomy są skupione na ograniczonej przestrzeni, zaczynają być lokalne. Można poszukiwać takich szeregów chaotycznych, które zamiast dystrybucji radialnej odtwarzają funkcje gęstości elektronowej. Być może tak zachowuje się szereg oparty na tangensie. 

Podsumowując, problemem szeregów chaotycznych jest to, że wykorzystują pojedynczą liczbę do generowania pojedynczej liczby a to zmusza nas do myślenia w kategoriach normy z przestrzeni np. promienia wodzącego elektronu i robienia układów kulisto-symetrycznych. Czy można wygenerować odrębnie współrzędne xyz? Chyba tak, paproć Barnsleya pokazuje, że to jest możliwe. Jednakże jeszcze jest trzeci element teorii chaosu, który wygląda znacznie bardziej nadziejnie. Po pierwsze nie jest zależny od wymiaru, po drugie generuje odrębnie punkty xyz w przestrzeni 3D – może być więcej wymiarowej. Niezależny od wymiaru, to znaczy, że możemy stosować jednostki i atomowe, i jednostki SI, CGS, czy jakie sobie tam wymyślimy, np. skalę kosmiczną. To jest kwestia tylko naszej wygody i potrzeb. Co ciekawe, to wytwarzanie gęstości elektronowych stanów kulisto-symetrycznych można zrobić nie tylko dla stanu podstawowego, ale i stanów wzbudzonych, można rozszerzyć zadanie na obecność wielu elektronów i wielu jąder, czyli na cząsteczki chemiczne. Tego typu element teorii chaosu nazywa się grami w chaos – chaos games, jak to się mówi z języka angielskiego.